El ejercicio de la discordia: 6/2(1+2)

Soy un fanático de las matemáticas, como quienes me conocen se habrán dado cuenta que es así. Y la verdad, este problema antes mencionado lo había visto antes navegando por Facebook. Al principio, no le tomaron mucho peso, pero por alguna extraña razón, le dieron demasiada importancia y hasta pasó a ser noticia en LUN (como verán en la imagen de arriba. Si no la pueden ver, véanla acá).

Este problema ha ganado 2 grupos de adeptos hasta ahora: Los que sostienen que la respuesta es 9, y los que aseguran que eso da 1. Para responder a este problema, remontémonos en cuando empezaron a enseñarnos matemáticas cuando éramos niños.

Cuando éramos chicos, nos enseñaron primero a contar. Luego vinieron los primeros problemas ariméticos: Primero aprendimos a sumar. A partir de ello, también aprendimos a restar. Luego nos encontramos con el clásico problema que tiene la resta y “¿qué pasa si el sustraendo es mayor que el minuendo?”. Entonces nos enseñaron el conjunto de elementos Z. Luego nos enseñaron qué hacer en caso de encontrarnos con ejercicios que mezclaban ambas operaciones básicas mezcladas. Hasta ese entonces, no nos importaba mucho el orden de cómo resolver esos problemas. Paralelamente, nos enseñaban a multiplicar, y aprendimos una nueva prioridad: “Las multiplicaciones primero. Luego todo lo demás”. Aparecieron las divisiones, y aparecieron las confusiones sobre qué hacer primero. Que yo recuerde, me enseñaron que, entre multiplicaciones y divisiones, hiciera primero lo que apareciera al leer de izquierda a derecha. Luego vinieron las paréntesis, y una nueva precedencia apareció: Primero se hace lo que está entre paréntesis, luego divisiones y multiplicaciones, y luego todo lo demás.

Si bien esos conceptos son archiconocidos del colegio, y vienen desde hace muchísimos años antes, los problemas también llegaron a la electrónica. Las primeras calculadoras electrónicas sólo se preocupaban de hacer las operaciones básicas por cada 2 elementos, y para ese efecto, no se consideraba la precedencia de los operandos. Quizás salía costoso, o bien no había conocimiento suficiente como para implementarlo electrónicamente. Por supuesto, como toda tecnología, las calculadoras han ido mejorando con el tiempo, y a medida que empezaron a agregar más y más elementos, tiempo más tarde empezaron a aparecer las calculadoras científicas. A pesar de eso, algunas no estaban libres del error de precedencia de los operandos, o cómo interpretaba el problema considerando todos los elementos mencionados anteriormente (excepto sumas y restas, los que no están involucrados en el problema en cuestión).

Dada la información mencionada previamente, veamos cómo debe resolverse este problema:

6/2(1+2) = 6/2*3 = 3*3 = 9

Entonces… ¿cómo es que algunos sostienen que la respuesta a ese problema es 1? Simple: algunos creen que entre multiplicaciones y divisiones, las multiplicaciones van primero, lo cual eso es un error, dado a que no necesariamente, sea así la cosa. La verdad, y como dije anteriormente, se debe respetar el orden que aparece de izquierda a derecha para estos casos, pero algunos creen lo contrario:

6/2(1+2) = 6/2*3 = 6/6 = 1

También surge el problema del “paréntesis invisible” (si no existe, bueno… lo inventé xD): El método presta bastante utilidad a la hora de resolver problemas grandes y largos, pero debe usarse muy bien o se prestarán para confusiones como las que notamos ahora. Ahora: re-resolvamos estos problemas con las paréntesis invisibles. Para la solución correcta:

6/2(1+2) = (6/2)(1+2) = 3*3 = 9

Ahora, si inventamos paréntesis donde no las hay y donde no deben ir:

6/(2(1+2)) = 6/(2*3) = 6/6 = 1

Si se dan cuenta, en muchas calculadoras modernas, así como softwares actuales orientados a la matemática, el resultado siempre es 9. De hecho, un apoyo a esto para entenderlo informáticamente, es con árboles binarios, pero eso lo dejaré para otra ocasión, porque ahí estaría hablando en chino 😉

Ahí lo dejo para que lo discutan 😀

Jorgicio

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30 comentarios

  1. Domingo dijo:

    Yo lo tengo claro, la respuesta es 1. A mi me enseñaron que las multiplicaciones tenían preferencia, que había que tener cuidado con la calculadora, por este problema precisamente y que donde no hay paréntesis, uno no se lo inventa.
    Pero claro a cada uno le enseñan una cosa y al final las matemáticas van a ser relativas, ya se sabe, según se miré.

  2. Raul dijo:

    La solución correcta es la segunda planteada. Es decir, es 1. Para que fuera la primera solución, 9, tendría que haberse escrito (6/2)(1+2)

  3. valentino dijo:

    1 si se respeta la notacion, es 1.

  4. Iván dijo:

    La respuesta que me enseñaron es 9.
    Pero como dice Domingo al final las matematicas no van a ser una ciencia exacta y se van a convertir en una ciencia relativa.

  5. Jose Hernandez dijo:

    Cuanto te da 6/2b

    Si b = (1 + 2)

    El resultado es 1

    • jorgicio dijo:

      Ojo en cómo lo estás leyendo. Multiplicación y división tienen prácticamente el mismo nivel de precedencia, por lo que el criterio usado acá es lo que aparece de izquierda a derecha.

      Haz la prueba con una calculadora.

  6. Rosanna dijo:

    La cosa cambia cuando dentro del paréntesis es multiplicación, el resultado cambia dependiendo de como lo resuelvas, y no consigo explicar porque

  7. david dijo:

    Es verdad que división y multiplicación tiene la misma preferencia y hay que contar desde la izquierda, pero hay un paréntesis al que hay que quitar, solo por eso primero se multiplica. 6/2(1+2) = 6/2(3) se despeja el paréntesis 6/6 = 1. Aquí no se añade paréntesis imaginarios ni nada.

    • jorgicio dijo:

      Claramente lo estás haciendo mal, ahí estás haciendo exactamente lo contrario a lo que dices: hiciste lo que va de derecha a izquierda cuando es al revés. Por eso te da un resultado erróneo. Y tampoco he añadido paréntesis imaginarios esta vez 😉
      Y revisa tu calculadora, algo hiciste mal, porque también tengo una último modelo, he probado con softwares de calculadora y de matemáticas, y todos coinciden en lo mismo: da 9.
      Revisa bien qué hiciste mal.

      • Luis Villalva dijo:

        Yo respeto el punto de vista de todos, pero considerando que hay que respetar el orden que mencionas si el resultado de 6/2(1+2) es 9, ¿cuál es él resultado de 6/(1+2)2?

        • jorgicio dijo:

          Simple: bajo la misma lógica, la respuesta es 4.

          • Elías dijo:

            Es una operación mixta. No puedes aplicar la propiedad distributiva en la multiplicación como lo estás haciendo. Debes respetar el orden estándar. No tengo el link pero busca prioridad de operadores en wikipedia

          • jorgicio dijo:

            De hecho se puede y el resultado sigue siendo el mismo. Y leí ese artículo en Wikipedia y por lo mismo, por cualquiera de los métodos que probé, el resultado sigue siendo 9.

  8. david dijo:

    Por cierto, tengo dos calculadoras científicas últimos modelos y las dos me dan 1.

  9. Jorge dijo:

    Hola me gusto mucho tu publicación ya que yo siempre he defendido ese resultado jaja pero últimamente hay mucha gente que sale que es 1 a pesar de que les he comprobado con Excel con wolfram y con graficadora que la respuesta es 9. Podrías hacer la entrada o explicar esta operación con un árbol binario? Ya que un tipo ya sale hablando hasta de autómatas que da 1

    • jorgicio dijo:

      Buenas, qué interesante, no sabía que ya hay demostraciones que sugieren que da 1. Si tienes el link donde habla de los autómatas u otras evidencias de que da 1, sería bueno que los compartieses. Se agradece montones.
      Respecto al árbol binario, podría dedicar otra entrada para eso, así que cuando lo tenga listo (y si dispongo de tiempo), lo haré.
      Gracias por pasarte.
      Un saludo.

      • Jorge dijo:

        ¿1? En serio y ¿cómo? Si uno toma como base todas las jerarquías de operaciones y respeta esto:

        1) Trabajar lo que está dentro de paréntesis.
        2) Trabajar potencias y/o raíces.
        3) Trabajar divisiones y/o multiplicaciones.
        4) Trabajar sumas y/o restas.

        Luego de haber trabajado paréntesis ya podemos trabajar de izquierda a derecha.

        Entonces a mi me sigue dando 9 jaja.
        De hecho ya lo probé con Wolfram, Mathlab, PhotoMath, Excel, Calculadora Científica, Graficadora, Calculadoras de Android y siempre da 9.

        • Jorge dijo:

          Perdón no había visto bien, pensé que tú decías que hay ya comprobaciones jaja de que es 1, cuando en realidad dices que NO sabías que existen estas. Pues tampoco yo, fue un comentario de alguien en FB que se inventó un árbol y pues quería corroborar contigo.

          • jorgicio dijo:

            Ah, bueno, bueno, es que las comprobaciones que vi antes es porque creían que las multiplicaciones siempre se hacen antes que las divisiones, pero sí, no sería mala idea ver ese árbol, cuando lo tenga listo, lo subo 😛

  10. Jorge dijo:

    Muchas gracias Jorgicio jaja, espero sea pronto para así ya dar la última estocada al tipo este jaja, porque pues yo he leído por todos lados y a los que les sale 1 es porque siempre multiplican antes de dividir.

    Por cierto, buen blog, te he encontrado por Google a raíz de este asunto.

    • jorgicio dijo:

      Yo pensé lo mismo y por ello creo firmemente que es 9, pero nunca está de más hacer varias demostraciones por si acaso. Y gracias y disfruta tu estadía en este humilde blog 😀

  11. MARÍA dijo:

    Es 9, no entiendo por qué dicen que es 1.
    Les falta escuela? Eso te lo enseñan en quinto primaria.

    • Jorge dijo:

      Exacto, pero hay gente que es necia y a pesar de que les enseñes 100 pruebas diferentes siguen asegurando que es 1, cuando es 9 lo correcto.

    • juan dijo:

      No es que les falte. Es que les sobra. Cuando pasas a universidad lo veras como uno. Porque alli domina el algebra y casi no se usa la aritmetica.

  12. Raul Vergara dijo:

    El resultado es uno (“1”), y es falso cuando dices que en las calculadoras y software modernos sale 9, porque en todas eh probado y sale 1, puede ser por el caso del paréntesis invisible ya que no hay un operador de “X” entre ellas.

    CASIO fx-570ES PLUS. (y no es antigua)….

  13. juan dijo:

    Hace tiempo lei una explicacion
    La aritmetica nos da 9 pero el algebra bos da 1.

    Como en este caso no se trata de una operacion algrbraica sino de una aritmetica, ya que no hay variables, la respuesta es 9.

    La verdad es que rn matemsticas sebvillamente usariamos los parentesis “invisibles” hacienedolos visibles para salir asi de toda duda

  14. La respuesta es 1, los operadores division y multiplicacion tienen igual precedencia, sin embargo, los parentesis existen para dirimir que operaciones hay que realizar primero, la precedencia esta dictada por los parentesis. En caso de no existir, habria que empezar a utilizar las reglas de desambiguacion y es sumas y restas primero, luego multiplicaciones y divisiones de ultimo

    • jorgicio dijo:

      Amigo, definitivamente necesitas volver a la escuela.
      De acuerdo a lo que comentas, que de hecho es cierto, cuando hay dos operandos de igual precedencia, se hace lo que va de izquierda a derecha. En este caso, multiplicación y división. Por ese criterio, el resultado es 9. Puedes hacerlo con todas las calculadoras y programas matemáticos que quieras, el resultado siempre será el mismo. (Tip: si lo haces con calculadora, no olvides anteponer el asterisco antes de las paréntesis)

  15. Miguel dijo:

    A los que les da uno son los que siempre dependen de una calculadora y no aprendieron los procedimientos correctamente pero siguien bien las leyes matematicas la verdadera respuesta es 9.

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